Operasi aritmetik penambahan, pendaraban dan pengeksponenan biasanya dilanjutkan kepada satu urutan hiperoperasi seperti berikut.

Pendaraban dengan nombor asli ditakrifkan sebagai penambahan berulang:

a × b = a + a + ⋯ + a ⏟ b  salinan bagi  a {\displaystyle {\begin{matrix}a\times b&=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&&b{\mbox{ salinan bagi }}a\end{matrix}}}

Contohnya,

4 × 3 = 4 + 4 + 4 ⏟ = 12 3  salinan bagi  4 {\displaystyle {\begin{matrix}4\times 3&=&\underbrace {4+4+4} &=&12\\&&3{\mbox{ salinan bagi }}4\end{matrix}}}

Pengeksponenan bagi kuasa asli b {\displaystyle b} ditakrifkan sebagai pendaraban berulang, yang digambarkan oleh Knuth dengan satu anak panah atas:

a ↑ b = a b = a × a × ⋯ × a ⏟ b  salinan bagi  a {\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ salinan bagi }}a\end{matrix}}}

Contohnya,

4 ↑ 3 = 4 3 = 4 × 4 × 4 ⏟ = 64 3  salinan bagi  4 {\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3{\mbox{ salinan bagi }}4\end{matrix}}}

Untuk melanjutkan urutan operasi melangkaui pengeksponenan, Knuth mentakrifan satu pengendali "dua anak panah" untuk menandakan pengeksponenan berulang (tetrasi)

a ↑↑ b =   b a = a a . . . a ⏟ = a ↑ ( a ↑ ( ⋯ ↑ a ) ) ⏟ b  salinan bagi  a b  salinan bagi  a {\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&&b{\mbox{ salinan bagi }}a&&b{\mbox{ salinan bagi }}a\end{matrix}}}

Contohnya,

4 ↑↑ 3 =   3 4 = 4 4 4 ⏟ = 4 ↑ ( 4 ↑ 4 ) ⏟ = 4 256 ≈ 1.34078079 × 10 154 3  salinan bagi  4 3  salinan bagi  4 {\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3&={\ ^{3}4}=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&\approx &1.34078079\times 10^{154}&\\&&3{\mbox{ salinan bagi }}4&&3{\mbox{ salinan bagi }}4\end{matrix}}}

Penilalian di sini dan di bawah dibuat dari kanan ke kiri, kerana seperti pengekspenenan, pengendali anak panah Knuth adalah berkait ke kanan (right-associative).

Mengikut definisi ini,

3 ↑↑ 2 = 3 3 = 27 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27} 3 ↑↑ 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 , 625 , 597 , 484 , 987 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987} 3 ↑↑ 4 = 3 3 3 3 = 3 7625597484987 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}} 3 ↑↑ 5 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7625597484987 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}} dan sebagainya.

Ini sahaja sudah cukup untuk menghasilkan nombor-nombor yang besar, tetapi Knuth melanjutkan lagi notasi ini. Dia turut mentakrifkan pengendali "tiga anak panah" sebagai pengulangan aplikasi "dua anak panah" (yang juga dikenali sebagai pentasi):

a ↑↑↑ b = a ↑↑ ( a ↑↑ ( ⋯ ↑↑ a ) ) ⏟ b  salinan bagi  a {\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ salinan bagi }}a\end{matrix}}}

diikuti dengan pengendali "empat anak panah" (juga dikenali sebagai heksasi):

a ↑↑↑↑ b = a ↑↑↑ ( a ↑↑↑ ( ⋯ ↑↑↑ a ) ) ⏟ b  salinan bagi  a {\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ salinan bagi }}a\end{matrix}}}

dan seterusnya. Peraturan amnya ialah satu pengendali n {\displaystyle n} anak panah berkembang menjadi satu siri perkaitan kanan pengendali ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} anak panah.

a   ↑ ↑ … ↑ ⏟ n   b = a   ↑ … ↑ ⏟ n − 1   ( a   ↑ … ↑ ⏟ n − 1   ( …   ↑ … ↑ ⏟ n − 1   a ) ) ⏟ b  salinan bagi  a {\displaystyle {\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n}\ b=\underbrace {a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (\dots \ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ a))} _{b{\text{ salinan bagi }}a}\end{matrix}}}

Contohnya:

3 ↑↑↑ 2 = 3 ↑↑ 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 , 625 , 597 , 484 , 987 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987} 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ 3 ↑↑ 3 = 3 ↑↑ ( 3 ↑ 3 ↑ 3 ) = 3 ↑ 3 ↑ ⋯ ↑ 3 ⏟ 3 ↑ 3 ↑ 3  salinan bagi  3 = 3 ↑ 3 ↑ ⋯ ↑ 3 ⏟ 7,625,597,484,987 salinan bagi 3 = 3 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⏟ 7 , 625 , 597 , 484 , 987 {\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ salinan bagi }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 salinan bagi 3}}\end{matrix}}=\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} _{7,625,597,484,987}}

Notasi a ↑ n b {\displaystyle a\uparrow ^{n}b} biasanya digunakan untuk melambangkan a ↑↑ ⋯ ↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow \dots \uparrow b} dengan n {\displaystyle n} anak panah.